Analogía entre las transferencias de calor y masa

Analogy between Transferences of Heat and Mass

 

Dr. Juan José González Bayón
Centro de Estudio de Tecnologías Energéticas Renovables (CETER), Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE), Ciudad de La Habana, Cuba.
Center of Studies on Renewable Energy Technologies (CETER), José Antonio Echeverría Higher Polytechnic Institute (ISPJAE), Havana City , Cuba.
Tel.: (537) 2663628.
e-mail: jjgbayon@ceter.cujae.edu.cu

 

Resumen
El presente trabajo es resultado de la revisión bibliográfica desarrollada por el autor
y de su propia experiencia en la aplicación de la analogía entre la transferencia de calor
y la transferencia de masa para la medición de los coeficientes locales y global de transferencia de calor en diferentes tipos de geometrías. En el texto se exponen, inicialmente, todos los aspectos teóricos relativos a la aplicación de la analogía transferencia de calor-masa.

A continuación se señalan un grupo de técnicas experimentales que hacen uso de
la analogía entre la transferencia de calor y de masa y finalmente se describe la técnica de la sublimación de naftaleno como la más representativa y ampliamente usada en
las investigaciones experimentales; aplican la analogía entre la transferencia de calor
y de masa.
Palabras clave: transferencia de calor y masa, técnica de sublimación de naftaleno.

Abstract
This paper is the result of a bibliographic compilation made by the author where he also added his own experience on the analogy between the heat
and mass transferences through the measurement of local and global coefficients of heat transference in the different types of geometries. All the theoretical aspects are dealt with on the text concerning the application of the heat-mass transference analogy.

A set of experimental techniques which uses the analogy between heat and mass transferences is stated. Finally, the technique on naphthalene sublimation is described as the most representative and widely used in the experimental researches applying the analogy between heat and mass transferences.
Key words : Heat and mass transference, technique of naphthalene sublimation

Introducción
Los coeficientes de transferencia de calor por convección generalmente son determinados a través de experimentos que envuelven el uso de complejos instrumentos y mediciones difíciles. Un método alternativo para obtener el coeficiente de transferencia de calor por convección, o en general estudiar procesos donde existe transferencia de calor, es conducir los experimentos a través de la transferencia de masa. Los métodos de medición basados en la transferencia de masa en general reportan menores índices de incertidumbre y son relativamente más simples para el montaje y para el control de los parámetros del experimento.

El fundamento para poder ejecutar los estudios en el campo de la transferencia de masa
y transformar los resultados al dominio de la transferencia de calor es la llamada analogía calor-masa.

En este trabajo se pretende mostrar las consideraciones básicas para el establecimiento de la analogía entre la transferencia de calor y la transferencia de masa e su campo de validez.

Analogía calor-masa para fluido con propiedades constantes
La analogía entre la transferencia de calor y la transferencia de masa para un fluido con propiedades constantes fue descrita en detalles por Eckert [1976].
El flujo de un fluido con propiedades constantes puede ser descrito totalmente por las ecuaciones de continuidad, las ecuaciones de Navier-Stokes y por las correspondientes condiciones de contorno. Observe que el hecho de ser las propiedades constantes permite desacoplar estas ecuaciones de la ecuación de la energía o de la ecuación de las especies químicas.

Para expresar las ecuaciones de una forma compacta y general se utiliza la notación tensorial en coordenadas cartesianas con parámetros adimensionales. Los términos con unidades de longitud son adimensional izados a través de una longitud de referencia (L0); las velocidades por medio de una velocidad de referencia (n0); los términos de tiempo según un tiempo de referencia (L/n0) y las presiones según la presión de referencia dada por (rv20). Esto es:

               
 
(1)

Con esta notación las ecuaciones de la continuidad y de Navier-Stokes toman la siguiente forma:

               
 
(2)

 
 
(3)

Se debe notar que la ecuación (3) en realidad representa tres ecuaciones, una para cada dirección cartesiana. El número de Reynolds Re0 que aparece en (3) está definido sobre la base de los parámetros de referencia, i.e.:

El término (ε/ν) expresa la relación entre la difusividad turbulenta de momentum y la viscosidad cinemática del fluido, puede ser conocida a partir de consideraciones de semejanza o de pruebas experimentales y queda como una función del número de Reynolds y de la posición

Como un flujo con propiedades constantes es independiente del hecho que exista o no exista transferencia de calor o de masa, se puede superponer a dicho campo de velocidades un proceso de transferencia de calor o de masa sin producir ninguna alteración sobre él.

Considérese entonces un proceso de transferencia de calor superpuesto al flujo anterior. La ecuación de la energía que caracteriza el proceso (en términos adimensionales) puede ser expresada de la forma siguiente:

 
 
(4)

El número de Prandtl (Pr) expresa la relación entre la viscosidad cinemática y la difusividad térmica del fluido, y de igual forma el número de Prandtl (Prt) expresa la relación entre la difusividad turbulenta de momentum ε y la difusividad turbulenta
de calor εh . El número de Prandtl turbulento es dado por una relación del tipo determinada por consideraciones de semejanza y por evidencias experimentales.
La temperatura adimensional T* es definida como:
Donde:

T0 es una temperatura de referencia arbitraria, yΤ∞ es la temperatura de la corriente fluida lejos de la superficie de transferencia.

En la ecuación (4) se puede observar que el campo de temperatura obtenido como solución tendrá la forma:

 
 
(5)

Conociendo la definición del número de Nusselt, que caracteriza el gradiente de temperatura sobre la superficie de transferencia en forma adimensional:

 
 
(6)

Entonces, el número de Nusselt puede ser usado para describir la relación funcional (5) expresada anteriormente; de ello se obtiene:

 
 
(7)

Ahora consideramos, en lugar del proceso de transferencia de calor, la superposición al flujo de un proceso de transferencia de masa en un medio de una sola fase y dos componentes. Este proceso será descrito por la ecuación de las especies en la forma siguiente:

 
 
(8)

La concentración (o fracción) de masa de uno de los componentes en forma adimensional es definida como:

Donde w0 es la concentración del componente sobre la superficie de transferencia de masa y es la concentración del componente lejos de la superficie de transferencia.
Sc = ν/D es el número de Schmidt, donde D es el coeficiente de difusión de masa del componente que está siendo transferido en el fluido, y Sct = ε /ε m el número de Schmidt turbulento, con ε m difusividad turbulenta de masa.

La solución de la ecuación (8) reporta que Entonces el número de Sherwood, adimensional que caracteriza el gradiente de concentración sobre la superficie de transferencia quedará expresado por:

 ;  
 
(9)


Un análisis de las ecuaciones (4) y (8) manifiesta que las dos son similares; la ecuación (4) describe el campo de temperatura de la misma forma que la ecuación (8) describe el campo de concentración, como puede ser verificado de las soluciones adimensionales encontradas para Nu y Sh. Mas para que exista analogía plena entre las dos ecuaciones y en consecuencia en las soluciones, aún debe ser satisfecha la condición: Prt = Sct.

Todas las evidencias experimentales demuestran que esta condición es cierta.
El resultado expresado antes muestra que para configuraciones geométricas y condiciones de contorno similares, simplemente se puede sustituir en la ecuación
de la energía o de las especies, T* por w* y Pr por Sc y una se transforma en la otra.
Esto significa que en (7) Nu puede ser sustituido por Sh y Pr por Sc; se obtiene la expresión (9). Por lo tanto, la transferencia de calor y la transferencia de masa son análogas y basta conocer la solución para el proceso de transferencia de masa que entonces se dispone de la solución para el proceso análogo de transferencia de calor
o viceversa.

Los resultados experimentales en transferencia de calor generalmente son correlacionados a través de ecuaciones empíricas de la forma:

Un = cRe mPr n

De acuerdo con la analogía calor-masa, los resultados de transferencia de masa pueden ser correlacionados en la misma forma:

Sh = cRe mPr n

La razón de estas dos ecuaciones indica que los resultados de la transferencia de masa pueden ser convertidos en sus análogos de transferencia de calor:

 
 
(10)

En la expresión (10) el exponente n es una constante empírica determinada de los resultados experimentales, y se encuentra en el intervalo de 1/2 a 1/3. El valor de n es tomado generalmente igual a 1/3 para régimen laminar. Sparrow y Hajiloo [1980] recomiendan utilizar n = 0,4 para Sc < 2,5. En realidad n debe ser determinado para cada condición, pues su valor es dependiente del régimen de flujo y de la geometría.
La analogía entre la transferencia de calor y de masa puede ser expresada de otras formas. El número de Sherwood y el número de Nusselt pueden ser presentados como el producto de tres adimensionales, i.e.:

 
 
(11)

Donde:
Stm y Stc son los números de Stanton para transferencia de calor y de masa respectivamente. Sustituyendo estos en la ecuación (10) se obtiene:

que es la forma equivalente de presentar la analogía j de Colburn para transferencia de calor y masa.

 jm = jc
 
(12)

con y
Las expresiones de la analogía fueron presentadas en términos de números adimensionales locales, pero pueden ser integradas y resultar expresiones semejantes
en términos de valores globales. La expresión de la analogía es válida para flujo laminar
o turbulento, siempre que Prt = Sct.

Lewis mostró que los coeficientes de transferencia de calor y de masa pueden ser relacionados de forma más precisa siguiendo un tratamiento más estricto. Usando una expresión derivada del perfil universal de velocidad de la capa límite turbulenta y asumiendo iguales la difusividad turbulenta de calor y de cantidad de movimiento (Prt = 1), puede ser obtenido el coeficiente de transferencia de calor de la capa límite turbulenta en términos del coeficiente de fricción y del número de Prandtl.

Siguiendo esta línea de análisis fue demostrado que para flujos turbulentos simples, tales como el flujo sobre placa plana o flujo turbulento totalmente desarrollado en tubo, existen discrepancias con la analogía de Colburn. Según Colburn, la relación Φ = (St/Stm) debe tener un valor constante dado que Pr y Sc se mantienen prácticamente constantes, sin embargo Lewis encontró que en general el factor Φ disminuye con el incremento del número de Reynolds. Para ilustrar lo expresado hasta aquí se presentan a continuación dos ejemplos:

Placa plana
Usando la correlación analítica de Von Karman para St se tiene:

 
(13)


donde el factor de fricción Cf es dado por Schultz-Grunow:

 
(14)

sustituyendo (14) en (13)

 
(15)

Realizando el mismo tratamiento para el St de masa se obtiene:

 
(16)

A partir de estas relaciones se puede encontrar Φ como función del número de Reynolds, cuyo comportamiento se muestra en la figura 1. Nótese de la figura (construida para flujo de aire Pr = 0,71 e intercambiando masa con una superficie de naftaleno Sc = 2,28) que Φ de Colburn es constante e igual a 2,03 para todo Re, sin embargo el Φ hallado según Von Karman va disminuyendo con Re, de forma tal que para Re = 107 la diferencia alcanza hasta un 25% de diferencia con relación al valor de Colburn.


Fig. 1. Razón de número de Stanton
para flujo turbulento sobre placa plana.
(Pr = 0,71 y Sc = 2,28).

Flujo totalmente desarrollado en tubo
En este caso la expresión para el número de Stanton St es similar a la ecuación (13) solo que debe colocarse el coeficiente de fricción para el tubo.
Así es obtenido:

 
(17)

 
(18)

A partir de estas relaciones se hace el mismo análisis que para la placa plana y se obtienen los resultados mostrados en la figura 2. Obsérvese en la figura que Φ se comporta nuevamente como en el caso de la placa plana, solo que la disminución con el número de Reynolds es aún mayor, alcanzando una diferencia de hasta 30 % para
Re = 106.



Fig. 2. Razón de número de Stanton en flujo turbulento
totalmente desarrollado en tubo. (Pr = 0,71 y Sc = 2,28).

Cuando el flujo es altamente turbulento, el número de Prandtl y el número de Schmidt de difusión molecular ejercen influencia sobre la transferencia sólo en la región de la subcapa laminar, es decir, muy cerca de la pared. Así, en flujos con alto número de Reynolds la turbulencia presente en la capa límite se torna más significativa que la difusión molecular, pues esta queda restringida apenas a la subcapa laminar, la cual es cada vez de menos espesor en razón de la alta turbulencia. Esto significa que en la aplicación de la analogía calor-masa debe ser con mucho cuidado, y reservar la analogía simple de Colburn a los flujos laminares.

Para cerrar la discusión sobre el establecimiento de la analogía calor-masa es importante dejar resumidas las consideraciones fundamentales que han sido asumidas:
1. Propiedades constantes.
2. Baja tasa de transferencia de masa.
3. No existen reacciones químicas en el fluido.
4. La disipación viscosa es despreciable.
5. No existe transferencia de calor por radiación.
6. No existe difusión por gradientes de presión o térmico, ni difusión forzada.

Las dos primeras restricciones son las más importantes para la mayoría de los problemas.

Si bien la analogía calor-masa fue desarrollada para propiedades constantes, también es aplicable en el caso de propiedades variables si es satisfecha la condición de que la dependencia de las propiedades con la temperatura sea similar a la dependencia con la fracción de masa en el intervalo de T y w donde se analiza el problema.

Para gases casi siempre es posible aplicar la analogía con propiedades variables, pues
Pr
y Sc son prácticamente constantes. La dependencia de la densidad ρ muestra un comportamiento similar con T y w, según puede observarse de las relaciones presentadas a continuación (obtenidas de la consideración de gas perfecto):

ρ = f (T)
(19)
ρ = f (M)
(20)

Para la viscosidad no sucede exactamente lo mismo, mas el problema puede ser resuelto adoptando una ley de variación lineal de μ con T y con w en el intervalo de trabajo.

Técnicas de medición de los coeficientes de transferencia de calor usando la analogía entre la transferencia de calor y de masa
Existe gran número de técnicas para desarrollar experiencias donde la analogía entre la transferencia de calor y de masa es utilizada para estudiar la transferencia de calor entre superficies y medios gaseosos. Una clasificación de las técnicas para la medición de la transferencia de masa en flujos sobre superficies es encontrada en Kottke [1978].
Kottke divide las técnicas en tres tipos: las técnicas de absorción con reacciones químicas e intensidad de color, las técnicas de evaporación y las técnicas de sublimación. La primera técnica generalmente es usada a través de la absorción de amoniaco en la superficie de transferencia [Kottke, 1985; Shüz, 1992, y Gaiser, 1989]. La absorción del amoniaco implica un cambio en la coloración de la superficie, coloración a partir de la cual se determina el coeficiente de transferencia de masa. El método resulta bastante complejo, pues exige la calibración de los resultados con geometrías donde el coeficiente de transferencia de masa sea conocido.

Los métodos de sublimación han sido ampliamente usados, en especial la sublimación de naftaleno (como muestra el artículo de revisión bibliográfica Goldstein [1995]). El método de sublimación de naftaleno es una técnica relativamente simple y con pequeño grado de incertidumbre (5-6 %), aunque cuando es usada para mediciones de los coeficientes locales exige de equipamientos sofisticados y alta precisión (alto costo) para poder determinar las pequeñas deformaciones de la superficie con una incertidumbre razonable.

Los métodos de evaporación se basan en determinar la pérdida de líquido de una superficie húmeda midiendo la variación de masa transferida (para mediciones globales) o de otra propiedad vinculada con la pérdida de humedad, como puede ser la variación de los tonos de color de la superficie, la cual por producirse con diferente intensidad en los distintos puntos puede ser usada para la determinación de coeficientes locales de transferencia de masa (calor). La medición del coeficiente global de transferencia de calor con los métodos de evaporación se comporta de forma semejante al método de la sublimación de naftaleno.

Para mediciones locales, la evaporación ha sido aplicada fundamentalmente para visualización. La principal desventaja atribuida al método de medición por evaporación –(citada por Kottke [1982])–, consiste en la alteración de la capa límite de concentración cuando ocurre el secado parcial de regiones de la superficie investigada. La limitación mencionada antes no constituye un impedimento insuperable, como puede ser visto en Bayón [1999] donde fue desarrollado un método para la medición de los coeficientes locales de transferencia que aprovecha la relación existente entre la variación de los tonos de color de una superficie (revestida de una capa de polvo de tiza mojado uniformemente con agua) con el cambio del contenido de humedad del material.

La técnica establece una graduación entre la masa de agua transferida por la superficie y sus tonos de color a través de la digitalización de las imágenes captadas por una cámara fotográfica conectada a una computadora. Los tonos de color son evaluados en una escala numérica de 0 hasta 255, correspondiente a los tonos de gris de la imagen procesada por un software desarrollado para la interpretación de los datos. Los resultados de la aplicación del método en la determinación de los coeficientes de transferencia de calor presentan incertidumbre del orden de 5 %, comparables con las incertidumbres de otras técnicas mucho más sofisticadas. Los valores experimentales obtenidos mostraron buena correspondencia con los resultados obtenidos por otros métodos de medición.

Dentro del grupo de técnicas mencionadas antes, la más empleada universalmente es la sublimación de naftaleno.

Técnica de sublimación de naftaleno
La técnica de sublimación de naftaleno fue introducida para estudios de analogía entre calor y masa por Jacob & Kezios [1953].

Las ventajas de este método están en que confiere resultados con muy buena exactitud y alta resolución para la determinación de los coeficientes global y locales de transferencia de calor.

La sublimación de naftaleno permite estudiar la componente convectiva de los procesos de transferencia de calor, sin tener presentes las indeseables pérdidas externas debidas a la conducción y la radiación de calor.

Así, con esta técnica es posible obtener condiciones de contorno isotérmicas o adiabáticas con mínimo o ningún error, lo que solo se consigue de forma aproximada en ensayos de transferencia de calor. La temperatura y presión constantes sobre la superficie del naftaleno conllevan a que la presión de vapor saturado y la concentración de naftaleno sobre la superficie también sean constantes. Esta condición de contorno equivale a una superficie isotérmica en la analogía con la transferencia de calor. Por otro lado una superficie inactiva (no sublimante) corresponde a una condición de pared adiabática.

La técnica de sublimación de naftaleno es simple, por lo que es relativamente fácil construir y manipular la sección de pruebas usada para los ensayos, pues no necesita de complejos sistemas de calentamiento y medición (tales como resistencias, aislamientos
y termopares) propios de los procesos térmicos análogos.

El naftaleno es un compuesto del grupo de los hidrocarburos aromáticos. Su estado normal, a presión atmosférica, es sólido, solo que resulta un sólido con características muy adecuadas para ser utilizado en experiencias de transferencia de masa. El naftaleno tiene la propiedad de sublimar en condiciones de presión normal y temperatura relativamente baja, o sea, a la temperatura ambiente presenta una presión de vapor suficientemente alta.

El naftaleno a presión normal (1 bar) posee una temperatura de fusión baja (80 0C), lo que permite fundirlo y moldearlo sin gran esfuerzo en la forma más útil para su empleo en diferentes experiencias.

Las propiedades físicas del naftaleno son bien conocidas y es un material fácil de adquirir, no oxidante y de baja toxicidad.

Propiedades del naftaleno
El método de la sublimación de naftaleno ofrece resultados con pequeños valores de incertidumbre, pero para esto es necesario que los valores de las propiedades sean tomados con suficiente exactitud, especialmente de las propiedades básicas: densidad del sólido, presión de vapor saturado, coeficiente de difusión en el aire y el número de Schmidt.

En la tabla 1 son presentadas las propiedades del naftaleno dadas por Kudchadker apud Goldstein y Cho [1995].

Tabla 1. Propiedades del naftaleno

Propiedades
Unidad
Valor
Fórmula química
 
C10H8
Peso molecular
g/mol
128,16
Punto de fusión
0C
80,2
Punto triple
0C
0,28
Punto de ebullición
0C
217,993
Entalpía de sublimación
kJ/mol
70,36
Temperatura crítica
0C
472,50
Densidad del líquido
(a 80,23 0C)
(a 120 0C)
(a 130 0C)
kg/m3
987,0
946,0
938,0
Densidad del sólido (a 20 0C)
kg/m3
1175,0
Conductividad térmica
w/mK
0,333

El naftaleno contiene impurezas mezcladas; no obstante estas no constituyen un problema, pues durante el proceso de fusión pueden ser extraídas, lo que afecta poco el resultado de las experiencias.

Presión de vapor de naftaleno
La presión de vapor saturado del naftaleno puede ser calculada mediante ecuaciones semiempíricas derivadas de la ecuación de Clausius-Clapeyron, cuya forma general es:

 
(21)

Donde a y b son constantes específicas de la sustancia, y se hallan tabuladas para intervalos de temperatura bien definidos.

Se sabe, sin embargo, que existen diferencias razonables de una referencia para otra en el mismo intervalo de temperatura para la misma sustancia. La razón para esa diferencia se debe al hecho de que la presión de vapor de los sólidos puede variar con la forma de cristalización, de acuerdo con Sherwood e Bryant [1957].

Las ecuaciones encontradas en la literatura no ofrecen datos sobre las condiciones del naftaleno; esto hace difícil escoger una ecuación como la mejor para un determinado trabajo.

En la tabla 2 se presenta un resumen de las ecuaciones ordenadas cronológicamente para la determinación de la presión de vapor saturado del naftaleno obtenidas por diferentes autores.

Después de comparar los valores suministrados por las correlaciones (Fig. 3), se observa que las diferencias son del orden de 7 %. La correlación escogida en la mayoría de los trabajos sobre el tema es la ecuación de Ambrose et al. [1975], cuyos resultados se colocan en la media del conjunto, con la característica de que su rango de incertidumbre de 3,8 % abarca las diferencias con las otras correlaciones.

Se debe observar en la figura, la alta sensibilidad de la presión de vapor saturado de naftaleno con la temperatura. La presión varía 10 % con el cambio de cada grado celsius en la temperatura. Por tanto, se debe tomar un cuidado especial con relación a las mediciones de temperatura cuando sea aplicado este método.

Tabla 2. Presión de vapor de naftaleno

Referencia

Temp. (C)

Correlaciones

International Critical Tables [1929]

0 a 60

;
pn
[mm Hg] ; T [K]

Bradley & Cleasby [1953]

6,7 a 20,7

;
pn
[cm Hg] ; T [K]

Sherwood & Bryant [1957]

0 a 38

;
pn [mm Hg] ; T [K]

Gil'denblat et al. [1960]

16 a 50

;
pn [mm Hg] ; T [K]

Fowler
et al. [1968]

16 a 80

;
pn [mm Hg] ; T [K]

Ambrose
et al. [1975]

-43 a 71


a0 = 301,6247 ; a1 =791,4937 ;
a
2 =-8,2536 ; a3 = 0,4043

pn
[Pa] ; T [K]

Kudchadker et al. [1978]

-10 a 36,8

;
pn
[bar] ; T [K]

Macknick & Prausnitz [1979]

7,15 a 31,8


; pn [mm Hg] ; T [K]

De Kruif
et al. [1981]

0 a 80


p
n [Pa] ; T [K]



Fig. 3. Valores de presión de vapor saturado de naftaleno
(obtenidos por diferentes autores) vs. temperatura.

Difusividad de masa de naftaleno en el aire
La difusividad es una propiedad dependiente de la temperatura, de la presión y de la naturaleza de los componentes del sistema. Datos experimentales o correlaciones sobre este coeficiente son escasos en la literatura. En la tabla 3 se presentan las correlaciones teóricas y experimentales obtenidas por diferentes autores.

Tabla 3. Coeficiente de difusión (cm2/s) de vapor de naftaleno en el aire

Referencia

Intervalo detemperatura (K)

Ecuaciones

Chen & Othmer [1962]

-

Dna = 2,238.10-6 T1,81

Fuller et al [1966]

-

Dna = 3,093.10-6 T1,75

Caldwell [1984]

303,2

Dna = 0,086

Cho [1992]

287,66 - 327,12

Dna = 8,177.10-7 T1,983

Chen & Wung [1990]

295,16 - 302,16

Dna = 1,495.10-6 T1,888

Las diferencias entre los resultados de las correlaciones alcanzan hasta 26 %. Entre las correlaciones de Cho [1992] y Chen & Wung [1990] la diferencia es de 6 %, debido a los abordajes diferentes seguidos por cada uno en sus experiencias.

Un buen número de trabajos consultados sobre la técnica de sublimación de naftaleno usan la ecuación de Cho [1992], aunque Goldstein & Cho [1995] proponen como más apropiada una ecuación obtenida de la media de los trabajos de Cho y Chen & Wung, que es la siguiente:

  [cm2/s]
(22)

Donde:
p [ Pa ]: presión de trabajo.
La correlación es válida en el intervalo de temperaturas: 287,5 K < T < 327 K.

Número de Schmidt
El número de Schmidt (Sc) es definido por la relación entre la viscosidad cinemática del aire y la difusividad del naftaleno en el aire ( ). La revisión bibliográfica permitió encontrar diferentes correlaciones para calcular Sc, las cuales son presentadas
en la tabla 4.

Tabla 4. Número de Schmidt del vapor de naftaleno en aire

Referencia

Intervalo
de temperatura (K)

Ecuaciones

Chen & Othmer [1962]

-

Sc = 2,950 T-0,0435

Fuller et al [1966]

-

Sc = 2,134 T0,0165

Caldwell [1984]

303,2

Sc = 1,805

Cho [1992]

287,66 - 327,12

Sc = 8,074 T-0,2165

Chen & Wung [1990]

295,16 - 302,16

Sc = 4,416 T-0,1215

Goldstein & Cho [1995], considerando la expresión presentada para Dna (22) y correlacionándola a través de la definición de Sc con la viscosidad del aire na dada por:

  [cm2/s]
(23)

obtuvieron una ecuación para Sc que es la siguiente:

   
(24)

Donde p y T significan lo mismo que en (21).
Esta relación es válida en el mismo intervalo de temperaturas dado antes para el coeficiente de difusión de naftaleno en el aire, o sea, entre 287,5 K y 327 K.

Limitaciones en el uso de la técnica de sublimación de naftaleno
La sublimación de naftaleno ha sido usada muy frecuentemente; sin embargo, tiene limitaciones que deben ser conocidas para su adecuada utilización. Estas son:
Limitación por baja velocidad: Para flujos de baja velocidad el tiempo de ensayo necesario para una medición con razonable exactitud es muy largo, mas cuando el tiempo de ensayo es grande se torna difícil controlar las variaciones de temperatura. En la práctica, tiempos de ensayo superiores a dos horas para alcanzar una profundidad de sublimación de 50 ?m (en el caso de coeficientes locales) o una masa sublimada de 10 mg (para coeficiente global) deben ser evitados.

Limitación del túnel de viento: Para experiencias con naftaleno es esencial el uso de túneles de viento de circuito abierto, para garantizar que el aire que llega a la sección de pruebas no contenga vapores de naftaleno. Para simplificar el control de la temperatura del flujo es recomendable usar un túnel de viento con la sección de ensayos colocada aguas arriba del ventilador.

Limitación en flujos que producen grandes esfuerzos sobre la superficie (high-shear flow):
En este tipo de flujos, ocurre erosión del naftaleno en una medida tal que es comparable con el efecto de la difusión y la convección, induciendo a grandes errores en la evaluación de las tasas de transferencia de masa. Este fenómeno es de gran interés en chorros que inciden directamente sobre la superficie del naftaleno.

Limitación de variación de la forma debido a la sublimación:
Durante el ensayo la superficie del modelo de naftaleno varía gradualmente debido a la sublimación. La duración de la exposición del modelo al flujo debe ser escogida de tal manera que las variaciones en las dimensiones del modelo de prueba produzcan un efecto mínimo sobre el propio flujo. En la práctica, la profundidad máxima de sublimación no debe superar los 0,2 mm. Cuando el ensayo es bien planeado el error debido a la variación en la forma de la superficie del modelo es despreciable.

Limitación de los valores medidos:
La técnica de sublimación de naftaleno ofrece apenas valores medios en el tiempo, ya que los resultados sólo pueden ser medidos al final del ensayo.

Limitación en las condiciones de contorno: Con la técnica de sublimación de naftaleno pueden ser obtenidas condiciones de contorno análogas a las condiciones de superficie isotérmica y adiabática, mas no es posible obtener la condición de flujo de calor constante, lo que significaría flujo de masa constante a lo largo de la superficie. Tampoco es posible realizar ensayos con propiedades variables.

Limitación por el efecto del calor latente de sublimación:
Debido al proceso de sublimación, la superficie del naftaleno disminuye su temperatura con relación a la temperatura del aire del flujo. Esto puede ser observado de un simple balance de calor sobre la superficie:

Donde:
[kg/m2.s]: flujo de masa de naftaleno.
ϒϒJ/kg]: calor latente de sublimación.
[w/m2.0C ]: coeficiente de transferencia de calor.
ϒT [0C]: diferencia de temperatura entre el aire y la superficie.

El valor de ϒT puede llegar a alcanzar hasta 0,15 K. Para reducir esta fuente de error se debe determinar la temperatura de la superficie del naftaleno. La temperatura puede ser medida colocando un termopar por dentro del naftaleno con su punta de medición justamente bajo la superficie. Esta pequeña diferencia de temperatura para ensayos con aire en convección forzada puede ser despreciada, pues según Eckert [1976] en mediciones realizadas fue encontrado el valor de DT en aproximadamente 0,02 K.
No obstante para ensayos con convección natural esta diferencia de temperatura debe ser considerada.

Mediciones usando la técnica de sublimación de naftaleno. Existen dos métodos generales para medir la tasa de transferencia de masa:

1. Midiendo la diferencia de masa sublimada para obtener los coeficientes medios de transferencia de masa.
2. Midiendo la profundidad de sublimación mediante sensores que recorren la superficie de transferencia y permiten determinar los coeficientes locales de transferencia de masa.

Medición de coeficiente global de transferencia de masa. Para esta medición, el objeto de ensayo debe ser pesado antes y después del período de prueba. El método de medición por pesada requiere de una balanza de alta precisión, este hecho generalmente limita el tamaño y peso del objeto de ensayo porque las balanzas de alta resolución (0,1mg) tienen una capacidad máxima de 200 mg.

El método de medición por diferencia de masa es menos afectado por las pérdidas por convección natural cuando es comparado con el método de las mediciones locales, porque el tiempo de medición es corto (en general menor de 5 minutos).

Para realizar mediciones con pequeña incertidumbre debe garantizarse un tiempo de ensayo tal que sean sublimados 10 mg como mínimo, con el cuidado de que la profundidad de sublimación no sobrepase 50 μm para evitar que la superficie de transferencia pueda quedar deformada y alterarse la geometría.

Medición de los coeficientes locales de transferencia de masa.
Las mediciones locales, como fue expresado antes, son realizadas con un sensor de superficie que es montado en una mesa de medición de tres coordenadas (xyz). El sensor recorre paso a paso toda la superficie, determinando en cada punto la profundidad de sublimación. Un esquema de la instalación usada para estas mediciones es mostrado en la figura 4.
La resolución en el paso de la mesa en las direcciones x y y caracteriza el grado de refinamiento de la malla de puntos que pueden ser verificados en la superficie. Entre tanto la resolución del sensor en z caracteriza la precisión en la medición de profundidad de sublimación.

Para la aplicación de esta técnica la superficie debe ser mapeada dos veces, antes y después del ensayo de transferencia para determinar la diferencia de altura en cada punto de la malla y calcular la profundidad de sublimación local.

 


Fig. 4. Mesa de medición de coordenadas.

Como el objetivo es medir una malla lo más refinada posible, dos factores deben ser llevados en consideración:

1. No escoger una superficie muy grande.
2. El sistema de mapeo (adquisición de datos) debe ser lo más rápido posible. Note que el tiempo de mapeo depende del número de puntos que hay que medir y de la velocidad de medición, entonces una cantidad excesiva de puntos por tomar un área muy grande o una adquisición de datos lenta por punto conducen a tiempos de mapeo grandes. Cualquiera de estas dos situaciones mencionadas resulta indeseable, pues durante ese tiempo se está produciendo sublimación por convección natural.

Las mediciones locales pueden ser realizadas en diferentes geometrías, tales como superficies planas, cilindros, superficies curvas con contornos suaves y en el interior de orificios.
La duración de los ensayos para mediciones locales queda determinada por dos límites:
1. Garantizar una profundidad de sublimación suficiente para que la incertidumbre, debido a los errores en la medición de profundidad y los errores de sublimación natural, sea pequeña.
2. La profundidad no sea tan grande como para influir sobre la forma del flujo. Generalmente el tiempo de ensayo es escogido para dar una profundidad de sublimación entre 0,038-0,050 mm, así el error de medición es dos o tres órdenes de magnitud menor que la profundidad de sublimación y el error por sublimación normalmente no alcanza 5 %.

Tratamiento de los datos
Los coeficientes de transferencia de masa locales (o los adimensionales Shm, Stm) son obtenidos de la profundidad de sublimación de cada punto de la superficie (diferencia de las alturas de cada punto leídas antes y después del ensayo de la superficie en el túnel o en una instalación cualquiera).

El coeficiente local de transferencia de masa hm es definido como:

   
(25)

Donde:
ρ v,p: Densidad del vapor de naftaleno sobre la superficie.
ρv,∞: Densidad del vapor de naftaleno en la corriente libre (lejos de la superficie) adoptada normalmente igual a cero.
ρs: Densidad del sólido de naftaleno.
δz: Profundidad de sublimación.
El coeficiente hm puede ser calculado para cada punto conociendo el δz correspondiente a dicho punto. Note que si el ensayo es realizado a temperatura constante, la presión de vapor de naftaleno sobre la superficie es constante y por tanto en términos de analogía esta condición de contorno es equivalente a condición de pared isotérmica en transferencia de calor.

El coeficiente medio de transferencia de masa puede ser determinado de la diferencia de masa (Δm) obtenida, por las mediciones en la balanza, de la siguiente forma:

   
(26)

La densidad del vapor de naftaleno es determinada según la ecuación del gas perfecto usando la temperatura de la superficie y la presión del vapor saturado de naftaleno dada por Ambrose:

   
(27)

El número de Sherwood basado en el coeficiente de transferencia de masa y en el coeficiente de difusión es determinado según:

    (local)
(28)
    (medio)
(29)

El uso de Sh para el tratamiento de los datos y establecimiento de la analogía calor-masa no es adecuado porque queda dependiente de la elevada incertidumbre del coeficiente de difusión. Una alternativa para evitar este problema es trabajar con otro adimensional, el número de Stanton para transferencia de masa definido como:

    (local)
(30)
    (medio)
(31)

Una vez determinados los adimensionales para la transferencia de masa puede ser usada la analogía calor-masa y conocer el comportamiento térmico del objeto de ensayo.

Conclusiones
Dada la gran incertidumbre que acarrean los estudios experimentales de transferencia de calor y las dificultades encontradas en muchas ocasiones para el establecimiento de las condiciones de contorno de forma exacta, la analogía calor-masa se convierte en una herramienta muy útil, pues facilita de forma relativamente simple transformar los resultados de transferencia de masa a transferencia de calor.

La analogía calor-masa permite aprovechar las ventajas de los procesos de transferencia de masa que pueden ser montados experimentalmente de forma más precisa, que exigen mediciones más simples y por tanto presentan menor incertidumbre.

La selección de una adecuada técnica para el estudio de la transferencia de masa, como por ejemplo la técnica de sublimación de naftaleno, permite incluso estudiar la transferencia de calor local en regiones donde existen grandes gradientes y geometrías complejas lo que resultaría casi imposible mediante los métodos térmicos tradicionales.

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